Abstract
Vor etwas mehr als zehn Jahren wurden Metallegierungen entdeckt, deren kristalline Strukturen kristallographisch "verbotene" Symmetrien aufweisen. Doch schon vor deren Entdeckung hatten Theoretiker nicht-periodische Parkettierungen gefunden, die ebendiese Symmetrieeigenschaften besitzen. Ein Beispiel dafür sind Penrosemuster.
About ten years ago metalic alloys were discovered with forbidden crystalline symmetric properties. But before that theorists found non-periodic tilings with these properties. One example are Penrose-tilings.
Damit ergeben sich für n nur die Werte 3,
4 und 6. Für unregelmäßige Vielecke gibt es dagegen noch
andere Möglichkeiten (z.B. ein Fünfeck, entdeckt von Marjorie
Rice, 1976).
Nun muß man aber bei der Betrachtung nicht-periodischer Muster beachten, ob es sich um ein willkürlich aufgebautes Muster (random tiling) oder um eine quasiperiodische Parkettierung handelt. Interessant ist außerdem die Anzahl der Basiselemente, die benötigt werden, um ein solches Muster aufzubauen.
Beim random tiling handelt es sich um ein nicht
nach festen Regeln zusammengesetztes Muster, das keinerlei Ordnung aufweist.
In kleineren lokalen Gebieten können periodische Strukturen auftauchen,
die sich aber nicht translations-invariant verschieben lassen oder wiederholt
in gleichen Umgebungen auftauchen.
In Gegensatz dazu besitzen quasiperiodische Funktionen
einen hohen Ordnungsgrad. Nimmt man ein Element aus der Struktur, so wird
es auch hier nicht möglich sein, dieses Element in periodisch wiederkehrenden
Abständen wieder auf der Struktur abzulegen. Obwohl die Translationsinvarianz
nicht gegeben ist, handelt es sich trotzdem um einen Zustand hoher Ordnung,
da diese Struktur durch einen festen Algorithmus aufgebaut werden kann.
Laut Definition heißt eine Funktion quasiperiodisch in x,
wenn sie sich als eine Superposition periodischer Funktionen mit inkommensurablen
Periodizitäten schreiben läßt. Das heißt, mehrere
periodische Funktionen werden zur Bildung einer neuen Funktion einander
überlagert. Ihre einzelnen Perioden stehen aber in einem irrationalen
Verhältnis zueinander. Dadurch weist diese neue gewonnene Funktion
keine Perodizität mehr bezüglich x auf. Das bekannteste
eindimensionale Beispiel einer Quasiperiodischen Funktion ist die Fibonacci
Kette. Ein einfacher Algorithmus zur Erzeugung einer solchen Folge
kann mit zwei Elementen (L und S),
die zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen,
wie folgt angegeben werden:
Starte mit dem Element L, im nächsten Schritt ersetze es durch LS und das Vorkommen von S durch L:
L
LS
LSL
LSLLS
LSLLSLSL
...
Obwohl die Erzeugung der Folge festgelegt ist, sieht man schon nach einigen Iterationen, daß sich kein Block innerhalb der Folge finden läßt, der in äquidistanten Abständen wieder auftaucht.
Nun stellt sich aber die Frage, ob es nicht auch in einer Ebene eine begrenzte Menge von Elementen (Kacheln) gibt, die nicht-periodische Muster erzeugen können. Bei periodischen Strukturen läßt sich immer eine Basis finden, die auch aus mehreren verschiedenen Teilelementen bestehen kann, mit der sich eine lückenlose Parkettierung aufbauen läßt. Diese gefundene Basis ist dann wieder invariant gegenüber Translationen.
Schon 1961 fragte sich der chinesisch-amerikanische Logiker Hao Wang, ob es ein Entscheidungsverfahren für das Parkettierungsproblem gibt, also ob man mit Hilfe eines Algorithmus entscheiden kann, ob eine endliche Menge von Polygonen (ursprünglich waren das eingefärbte Quadrate) die gesamte Ebene parkettiert oder nicht. Er wies nach, daß zur Beantwortung dieser Frage ein anderes Problem gelöst werden mußte: Wenn sich nämlich zeigen ließe, daß jede endliche Menge von unterschiedlichen Elementen, die zur kompletten Parkettierung einer Ebene geeignet waren, auch stets eine periodische Parkettierung zuließ, dann würde aus diesem Ergebnis die vorherige Behauptung folgen. 1966 gelang Robert Berger der Nachweis, daß es kein Entscheidungsverfahren für das Parkettierungsproblem gibt. Somit mußte es endliche Mengen von Elementen geben, welche die euklidische Ebene nur nicht-periodisch zu parkettieren vermochten.
Berger suchte danach und fand zunächst eine Menge von 20426 Elementen, kurz danach reduzierte er diese Zahl auf 104. Im Jahre 1971 fand dann Raphael Robinson einen Satz von nur 6 Elementen [8].
Im Jahre 1973 fand Roger Penrose, renommierter Rouse-Ball-Professor für Mathematik an der Universität Oxford, unabhängig davon ebenfalls einen Satz von ebenfalls nur 6 Elementen. Durch Kleben und Schneiden vermochte er die Anzahl nochmals zu senken, diesmal auf 2 Elemente.
Wegen ihrer besonderen Formschönheit ist insbesondere ein Paar von Elementen bekannt geworden, der Drachen (kite) und der Pfeil (dart). Die Namen wurden von John Conway vorgeschlagen.
Diese besondere Zahl erhält man, wenn man eine Strecke AB an einem Punkt T teilt, unter der Maßgabe, daß das Verhältnis AB : TB = TB : AT beträgt. Für AB = a und TB = x errechnet man schnell die quadratische Gleichung x2 = a * (a-x) und erhält
Die Näherungsbrüche durchlaufen dabei die Folge
Wenn Ihnen jetzt diese Zahlen bekannt vorkommen, ist das kein Zufall: es handelt sich bei den Zählern und Nennern um die Fibonacci-Folge, deren Zahlen sich stets aus den Summen der beiden unmittelbaren Vorgängern berechnen. Es ist deswegen kaum verwunderlich, wenn im Zusammenhang mit den Penrose-Mustern bei vielen Beobachtungen nicht nur stets der Goldene Schnitt immer wieder auftaucht, sondern auch jene Näherung, also die Kettenbruchentwicklung, und damit die Fibonacci-Folge.
Wo tritt der Goldene Schnitt hier auf? Sehen wir uns nochmal
den Rhombus an, aus dem die beiden Penrose-Elemente abgeleitet sind: Die
Diagonale des Rhombus wird nach dem Goldenen Schnitt geteilt und dieser
Punkt mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Rhombus verbunden.
Die Verbindungslinien haben nun zu den Seiten des Rhombus (sie sollen die
Länge 
haben) das Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Die Länge
beträgt also, wenn man in Gleichung (1) x = 1 und a =
setzt,
Der kleinste benutzte Winkel beträgt 36 Grad, alle anderen Winkel sind Vielfache davon.
Wie kann man nun leicht einsehen, daß gerade diese Elemente nur nicht-periodische Muster erzeugen können? Dazu benutzt man ein Verfahren, daß als Inflation bekannt ist: Aus zwei halben "Pfeilen"und einem "Drachen" kann man einen neuen, größeren "Pfeil" konstruieren, aus zwei halben "Pfeilen" und zwei "Drachen" läßt sich ein neuer, größerer "Drachen" gewinnen. Genauso geht es in umgekehrter Richtung: in jedem Element kann man kleinere Ausführungen unterbringen (Deflation). Jedes beliebige Parkettierungsmuster kann man so herstellen. Gleichzeitig dient das Verfahren als ein Beweis unter vielen für die ausschließliche Aperiodizität des Elementesatzes [6].
An seiner Stelle soll aber ein anderer Beweis gezeigt werden, der auf einer anderen Eigenschaft aufbaut [6]: Die beiden eingesetzten Elemente stehen in einem bestimmten Zahlenverhältnis zueinander, wenn ein zulässiges Muster vorliegt. Je größer die ausgelegte Fläche ist, desto besser nähert sich dieser Wert dem Verhältnis x = k/d an (wobei k die Anzahl der "Drachen", d die Anzahl der "Pfeile" ist). Dieses relative Verhältnis läßt sich schreiben als
da bei der Inflation ein "Pfeil" und zwei "Drachen" einen großen "Drachen" ergeben, während ein "Pfeil" (eigentlich zwei halbe) und ein "Drachen" einen großen "Pfeil" ergeben.
Das ergibt für ein unendlich großes Muster (Ausrechnen der quadratischen Gleichung nach x):
Die nächste interessante Frage ist: wieviel solche
Muster gibt es? Na, unendlich viele, wird man vermuten, und man liegt schon
gar nicht mal so falsch. Aber der Mathematiker unterscheidet da verschiedene
"Unendlich". Zum Beispiel gibt es unendlich viele ganze Zahlen, aber man
kann sie zählen; deswegen nennt man das dann abzählbar unendlich.
Und da gibt es die reellen Zahlen, also die Menge aller ganzen Zahlen,
aller rationalen Zahlen (Brüche) und irrationalen Zahlen. Und die
kann man nicht mehr zählen. Es müssen also mehr sein als die
vorher genannten Zahlen, deren Menge ja noch abzählbar unendlich groß
war. Unendliche Mengen, die man nicht mehr abzählen kann, nennt man
überabzählbar.
Und genauso viele Penrose-Muster gibt es, überabzählbar
viele. Der Beweis ist eigentlich recht einfach: Man schreibe in die linke
Hälfte der "Drachen" ein L, in
die rechte Hälfte ein R; entsprechend
geht man bei den "Pfeilen" vor, als Beschriftung wählt man l
und r. Man wähle nun einen beliebigen
Punkt des Musters und schreibe den Buchstaben der Fläche, in dem er
liegt, auf. Nun wird ein Inflationsschritt durchgeführt. Man beschrifte
die neu erzeugten, größeren Elemente wiederum in der schon beschriebenen
Weise und notiert wieder den Buchstaben der Fläche, in welcher der
Punkt liegt. Beliebig fortgesetzt entsteht eine Zeichenkette, die das Muster
relativ zu dem Punkt beschreibt, gewissermaßen "aus der Sicht des
Punktes". Führt man das Verfahren für einen anderen Punkt des
Musters durch, erhält man eine unterschiedliche Zeichenkette, die
nach einer bestimmten Anzahl von Schritten mit der ersten Folge übereinstimmt.
Ist keine Übereinstimmung zu finden, handelt es sich um verschiedene
Muster. Es können so nicht alle möglichen Zeichenketten der vier
Buchstaben erzeugt werden, aber es kann gezeigt werden, daß die Anzahl
derjenigen, die durch das Verfahren entstehen, mit der Anzahl der Punkte
auf einer Geraden übereinstimmt [1].
Das bedeutet, daß man innerhalb eines unendlichen Musters nicht entscheiden kann, in welchem Teilmuster man sich befindet. Das ist unabhängig davon, wie groß die Umgebungen sind, die man dazu untersucht. Der Grund dafür ist, daß alle Umgebungen in einer großen endlichen Umgebung enthalten sind, die ihrerseits unendlich oft als Duplikat ihrer selbst vorkommt. Für ein periodisches Muster sind das selbstverständliche Eigenschaften; für ein nicht-periodisches Muster ist das aber schon eine recht bizarre Eigenschaft. Formuliert ist dieser Zusammenhang im "Satz über die lokale Isomorphie" der Penrose-Muster.
Angenommen, wir betrachten nun eine kreisförmige Umgebung mit dem Durchmesser d in einem beliebigen Penrose-Muster. Wie weit sind exakten Kopien dieser Umgebung maximal entfernt, wenn man einen beliebigen anderen Punkt betrachtet?
John Conway hat dazu eine bemerkenswerte obere Grenze
in einem Satz angegeben: der Abstand vom Rand einer Umgebung zu ihrer exakten
Kopie ist nie weiter entfernt als d * (3)
/ 2 (wobei
der Goldene Schnitt ist), also ca. 2,12d.
Ein äußerst überraschendes Ergebnis, zumal es eine obere
Grenze darstellt, keinen Durchschnittswert! Ein Beispiel zum Vergleich:
Um in der Folge der Ziffern der irrationalen Kreiszahl 
eine Ziffernfolge bestimmter Länge wiederzufinden, muß man erheblich
"weiter laufen" als die doppelte Länge der gesuchten Folge; und hierbei
ist keine obere Grenze bekannt.
Eine weitere Eigenheit der Penrose-Muster wird gleich
noch eine große Rolle spielen: fünfzählige Symmetrie. Es
gibt sieben Möglichkeiten "Drachen" und "Pfeile" um einen Scheitelpunkt
herum anzuordnen. Unter diesen sieben Anordnungen gibt es zwei, die eine
fünfzählige Symmetrie aufweisen. Sie haben die Bezeichnungen
"Sonne" und "Stern" bekommen [2]. Beide gehen durch "Inflation" und "Deflation"
ineinander über. Diese Symmetrieeigenschaft wurde von dem Kristallographen
Alan L. Mackay in einem Experiment auf einer optischen Bank nachgewiesen.
Hier zeigte sich, daß das Penrose-Muster offensichtlich die gleichen
scharfen Reflexe aufweist wie sie bei regulären Kristallen auftreten.
Allerdings hat das Beugungsbild eine zehnzählige Symmetrie, woraus
geschlossen werden konnte, daß das Penrosemuster ein fünf- bzw.
zehnzähliges Muster ist.
Es ist verständlich, daß diese Entdeckung von
der Gemeinde der Kristallographen sehr skeptisch aufgenommen wurde. Bis
dahin war der Begriff "Ordnung" an die Translationsinvarianz des Gitters
gekoppelt, und die möglichen Formationen der Atome konnten mit den
bekannten Bravais-Gittern abgedeckt werden. Eine Ordnung mit beispielsweise
fünf- oder zehnzähliger Symmetrie, wie sie das Penrose-Muster
aufweist, war nach diesen klassischen Vorstellungen "verboten". Jetzt,
nachdem mehrere hundert solcher Legierungen bekannt sind, etabliert sich
diese dritte Zustandsform fester Materie neben amorphen Festkörpern
und periodisch geordneten Kristallen. Dabei gibt es Verbindungen, die entlang
einer Richtung, in einer Ebene oder in allen drei Raumrichtungen quasiperiodische
Ordnung aufweisen. Man spricht daher von ein-, zwei- oder dreidimensionalen
Quasikristallen. Das beschriebene Penrose Muster kann zum Beispiel
als Modell für zweidimensionale Quasikristalle verwendet werden, indem
man sich den Kristall durch periodisch geschichtete Penrose-Ebenen vorstellt.
Daneben wurden mittlerweile auch Festkörper mit 8-, 10- und 12- zähliger Symmetrie gefunden. Auch hier kann man sich den Kristall durch parallel, diese Symmetrien aufweisende, geschichtete Ebenen vorstellen. Die Frage, wo sich denn nun die Atome befinden, ist leider nicht so leicht aus den gefundenen Symmetrieeigenschaften ableitbar. Die üblichen Methoden der Festkörperphysik, die auf die Translationsinvarianz aufbauen, führen dabei nicht zum gewohnten Erfolg. Hier ist ein intensiver Dialog zwischen Theorie und Experiment nötig, um alle verfügbaren Aufklärungmethoden auszuwerten. Sehr interessant sind in diesem Zusammenhang die dreidimensionalen Quasikristalle, die im Beugungsbild (das heißt im reziproken Raum) Symmetrien der platonischen Körper aufweisen können. Das bekannteste Beispiel hierbei ist die Ikosaeder Symmetrie mit Ihren 2 zweizähligen, 10 dreizähligen und 6 fünfzähligen Achsen. Auch beim Ikosaeder findet sich der Goldenen Schnitt in den den Ikosaeder aufspannenden Vertices wieder. Der hohe Ordnungsgrad, die langreichweitige Fernordnung und die Perfektion dieser Verbindungen läßt sich anhand von Röntgenstreuung, mit der man ein Beugungsbild, also ein Abbild des reziproken Gitters erzeugen kann, zeigen. Neben der perfekten Ikosaeder-Symmetrie besitzen die gemessenen Peaks Linienbreiten, wie man sie bisher nur von einkristallinem Silizium kannte. Auch die Härte der Kristalle ist vergleichbar mit der von Silizium. Obwohl die entdeckten Legierungen nur aus metallischen Einzelkomponenten bestehen, ist der Widerstand hoch. Erstaunlich ist dabei auch, daß der elektrische Widerstand sinkt, wenn die Struktur schlechter wird, das heißt, der Kristall mehrere Störstellen aufweist und somit von der quasiperiodischen Ordnung abweicht. Nachdem es mittlerweile gelingt, diese Substanzen in makroskopischer Größe herzustellen (einige ccm), macht man sich natürlich Gedanken über mögliche Anwendungen. Aufgrund der großen Härte und der schlechten Wärmeleitfähigkeit eignen sich diese Legierungen beispielsweise als Beschichtungsmaterial. Eine erste zum Patent eingereichte Anwendung sieht die Beschichtung von Bratpfannen vor, um das umstrittene Teflon aus der Küche zu verbannen. Neben dieser kleinen Einführung in die Welt der quasiperiodischen Funktionen am Beispiel des Penrose-Musters gibt es noch eine Vielzahl weiterer Muster und Parkettierungen, mit denen sich nicht-periodische, flächendeckende Strukturen aufbauen lassen (zum Beispiel Amman-Grid, Oktagon-Muster und vieles mehr). Nachdem es sich dabei nicht nur um eine Spielerei handelt, sondern sich mit diesen Mustern auch reale Festkörper modellieren lassen, versucht man nun zu verstehen, warum die Atome sich gerade in diesen Kristallsymmetrien gruppieren, um eine stabile Verbindung einzugehen. Dafür ist es notwendig, gute Modelle zu entwickeln, die der Wirklichkeit möglichst nahe kommen.
Der Drudenfuß war das Symbol der Pythagoräer im antiken Griechenland und auch Dr. Faustus benutzte es, um Mephisto zu rufen. Nein, wir werden nun nicht vom Boden der Tatsachen abheben. Interessant ist die Figur, weil in einem solchen "Drudenfuß" (Fünfstern, Pentagramm), der von einem Pentagon (regelmäßiges Fünfeck) eingerahmt ist, alle Penrose-Elemente enthalten sind. Das impliziert, daß auch hier der Goldene Schnitt enthalten sein muß! Und tatsächlich, die Länge jeder Teilstrecke steht im Goldenen Verhältnis zur Länge der nächstkleineren Strecke.
In der Theorie bleiben (neben vielen beantworteten) noch einige Fragen offen. Beispielsweise möchte man wissen, ob es Elemente zur nicht-periodischen Parkettierung gibt, die nicht dem Goldenen Schnitt gehorchen. Und ob es nicht vielleicht ein einzelnes Element gibt, das ausschließlich zur nicht-periodischen Parkettierung verwendet werden kann.
Literatur:
[1] Gardner, Martin: Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers;
Freeman & Company, 1989; ISBN 0-7167-1986-X
[2] Gardner, Martin: Faszinierende Mosaike; Spektrum
der Wissenschaft, 11/1979, pp.22-33; Nachdruck aus Scientific American,
1/1977.
[3] Guy, R.: The Penrose Pieces; Bulletin of the London
Mathematical Society, 8, 1976, pp.9-10.
[4] Jannot, C.: Quasicristals, A Primer; Oxford: Clarendon
Press, 1992
[5] Nelson, David R.: Quasikristalle; Spektrum der Wissenschaft,
10/1986, pp.74-83
[6] Penrose, Roger: Pentaplexity - A Class of Non-Periodic
Tilings of the Plane; The Mathematical Intelligencer, Volume 2, Number
1, 1979, pp.32-37. Nachdruck aus Eureka No. 39.
[7] Penrose, Roger: Computerdenken; Heidelberg: Spektrum
der Wissenschaft, 1991; ISBN 3-89330-708-7
[8] Robinson, Raphael M.: Undecidability and Nonperiodicity
for Tilings of the Plane; Inventiones Mathematicae, 12, 1971, pp.177-209.